Qualcuno ha risolto un problema come il tuo adottando una lettiera di questo tipo:
http://www.zooplus.it/shop/gatti/let...e_gatti/196470
So che ne esiste anche una versione economica - qualcuno ne aveva postato le foto - ma adesso non saprei dove recuperarle...
Ad ogni modo il principio è quello dell'ingresso dall'alto. C'è anche chi ha autocostruito qualcosa di simile adattando dei contenitori dell'Ikea.